Математический анализ Примеры

$\int (10 x^{3} + \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 10 x^{3} + \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 10 x^{3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$10 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$10 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{2} x^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$