Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (a x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = a x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Этап 1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $a$ на $1$ .

$\cos (a x) a$

Этап 1.2.3.2

Изменим порядок множителей в $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a \cos (a x)$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 2.3

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.4

Возведем $a$ в степень $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Возведем $a$ в степень $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Этап 2.9.2

Изменим порядок множителей в $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- a^{2} \sin (a x)$ по $x$ равна $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 3.3

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Возведем $a$ в степень $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Этап 3.8

Умножим $\cos (a x)$ на $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- a^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- a^{3} \cos (a x)$ по $x$ равна $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 4.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 4.3.2

Умножим $a^{3}$ на $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Этап 4.3.3

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.4

Умножим $a^{3}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.4.2

Умножим $a$ на $a^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Этап 4.6

Умножим $\sin (a x)$ на $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$