Математический анализ Примеры

$\int \sin^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin^{3} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{\sin^{3} (u_{1})}{2}$ и $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Вынесем $\sin^{2} (u_{1})$ за скобки.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Этап 6.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int (- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7

Умножим $(- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 1 {u_{2}}^{2}$ в виде $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 8.2

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на ${u_{2}}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Этап 8.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 12

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{4}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

Этап 13.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1}) + \frac{1}{5} \cos^{5} (u_{1})) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (2 x)) + C$