Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $3$ влево от $2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{3 \cdot (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Умножим $3$ на $2$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{3} x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 (x^{2} x^{3})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{2 + 3}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Объединим $3$ и $\frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ((3 (2 x^{3}) + 3 \cdot - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (3 (2 (x^{2} x^{3}))) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (3 (2 x^{2 + 3})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{5})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 (6 x^{5}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.3

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.1.6

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.2

Объединим противоположные члены в $18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Вычтем $18 x^{5}$ из $18 x^{5}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 0}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.2.2

Добавим $- 9 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$