Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 2 x}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{2} + 2 x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2 x} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 2 x}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{1}{x (x + 2)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $A (x + 2)$ на $1$ .

$1 = A (x + 2) + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{x + 2}$

Этап 4.1.6.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x)$

$1 = A x + 2 A + B x$

Этап 4.1.7

Перенесем $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 4.3.1.2

Разделим каждый член $2 A = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разделим каждый член $2 A = 1$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Этап 4.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $\frac{1}{2}$ .

$0 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = \frac{1}{2} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} + B = 0$ .

$\frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Этап 4.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Этап 4.5.4

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 2}$

Этап 4.5.5

Перенесем $2$ влево от $x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 10

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 10.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 10.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$