Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x + 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $u^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Этап 6.2

Перенесем $u^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- \frac{1}{3 u^{3}}$ в $t + 4$ и в $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Этап 8.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Этап 8.1.3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Этап 8.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ стремится к $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Этап 8.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Найдем предел $\frac{1}{192}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Этап 8.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Этап 8.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Этап 8.3.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{192}$

Десятичная форма:

$0.026041\overline{6}$