Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} [(2 - x^{2}) - (x^{2})] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} (2 - x^{2}) - (x^{2}) d x$

Этап 2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 2 - 2 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} 2 d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$2 x]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $2 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 1 - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 2 \cdot - 1 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 + 2 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 - 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Этап 7.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 - 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 7.2.3.8

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$4 - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 - 2 \frac{1 + 1}{3}$

Этап 7.2.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$4 - 2 (\frac{2}{3})$

Этап 7.2.3.11

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$4 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.3.12

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 + \frac{- 4}{3}$

Этап 7.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 - \frac{4}{3}$

Этап 7.2.3.14

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 7.2.3.15

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 7.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 7.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 4}{3}$

Этап 7.2.3.17.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{3}$

Этап 9