Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2.2.2

Избавимся от скобок.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2.3

Каждый член в $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ умножим на $x^{2} + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ на $x^{2} + 1$ .

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.2.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.3.1.2

Умножим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

Этап 1.2.3.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

Этап 1.2.4.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$x^{4} + 0 = 4$

Этап 1.2.4.1.2.2

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$x^{4} = 4$

Этап 1.2.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Этап 1.2.4.3.2

Перепишем $\sqrt[4]{2^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 1.2.4.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $\sqrt{2}$ вместо $x$ .

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

Этап 1.3.2

Подставим $\sqrt{2}$ вместо $x$ в $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Этап 1.3.2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

Этап 1.3.2.2.1.1.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{3}{2 + 1}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{3}{3}$

Этап 1.3.2.2.2

Разделим $3$ на $3$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

Этап 3.3

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 3.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 3.5.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 3.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

Этап 3.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Этап 3.6

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 3.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7.2

Добавим $- x^{4}$ и $0$ .

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7.6

Изменим порядок $- {(x^{2})}^{2}$ и $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x^{2}$ .

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.11.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.11.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.11.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.12

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.14

Добавим $2$ и $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.15

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Вычтем $x^{4}$ из $0$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.16.2

Изменим порядок $4$ и $- x^{4}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.17

Разделим $- x^{4} + 4$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 3.17.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 3.17.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 3.17.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{4} + 0 - x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 3.17.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Этап 3.17.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 3.17.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 3.17.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Этап 3.17.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 1$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Этап 3.17.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

Этап 3.17.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.18

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.19

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.20

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.21

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.22

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.23

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.24

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.24.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 3.25

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Этап 3.26

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $\sqrt{2}$ и в $- \sqrt{2}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Этап 3.26.1.2

Найдем значение $x$ в $\sqrt{2}$ и в $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Этап 3.26.1.3

Найдем значение $\arctan (x)$ в $\sqrt{2}$ и в $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.1.4.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.4

Применим правило умножения к $- (\sqrt{2})$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.10

Умножим $\frac{\sqrt{8}}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.12

Добавим $\sqrt{8}$ и $\sqrt{8}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.13

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Этап 3.26.1.4.14

Чтобы записать $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.1.4.15

Объединим $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.1.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.1.4.17

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.3.1

Найдем значение $\arctan (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.3

Найдем значение $\arctan (\sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.4

Добавим $0.95531661$ и $0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.5

Умножим $9$ на $1.91063323$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.6

Добавим $- 4 \sqrt{2}$ и $17.19569912$ .

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.7

Разделим $11.53884487$ на $3$ .

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.26.3.8

Добавим $3.84628162$ и $2 \sqrt{2}$ .

$6.67470875$

Этап 4