Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.3.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (2 x + 6)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.4

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $2 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.10

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.11

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Этап 3.12

По правилу суммы производная $3 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.13

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

Этап 3.15

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $6 \cos (2 x + 6)$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

Этап 4.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

Этап 4.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

Этап 4.6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 \cos (- 6 + 6)$

Этап 6.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$6 \cos (0)$

Этап 6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 6.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$