Математический анализ Примеры

$\frac{x}{\ln (x)}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.2.2

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x$ .

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $\ln (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.4.2.2

Объединим $\ln^{2} (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Этап 2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Объединим.

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.9

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{x}$ и $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.4

Объединим $x$ и $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.5.2

Разделим $2 \ln (x)$ на $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.10.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.11.2.2

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.11.2.3

Умножим $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.11.2.3.2

Умножим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2.11.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$