Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{3}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{4} x^{- 2}$ по $x$ равна $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{- 6}{4}$ и $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.6

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.4

Объединим $\frac{4}{2}$ и $x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.3.5.2.4

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2 x^{3}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 2.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 2.4.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 2.4.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 2.4.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 2.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 2.4.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

Этап 2.4.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

Этап 2.4.9

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

Этап 2.4.10

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

Этап 2.4.11

Объединим $\frac{9}{2}$ и $x^{- 4}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

Этап 2.4.12

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $\frac{9}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{2 x^{4}}$ по $x$ равна $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 3.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 3.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 3.4.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 3.4.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 3.4.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 3.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 3.4.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Этап 3.4.8

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Этап 3.4.9

Умножим $- 4$ на $9$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Этап 3.4.10

Объединим $\frac{- 36}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Этап 3.4.11

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Этап 3.4.12

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Этап 3.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{5}$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Этап 3.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Этап 3.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Этап 3.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

Этап 4

Третья производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$