Математический анализ Примеры

$x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

Этап 1

Запишем $x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ в виде функции.

$f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{2} + 7$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{2} + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{15} \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $u^{15}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{15}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u^{15} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{15}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{16} u^{16}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 16} u^{16} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{1}{32} u^{16} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$