Математический анализ Примеры

$3 x^{2} + \frac{x}{2}$

Этап 1

Запишем $3 x^{2} + \frac{x}{2}$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{x}{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 x^{2} + \frac{x}{2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{2} d x + \int \frac{x}{2} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{2} d x + \int \frac{x}{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{x}{2} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{x}{2} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} \int x d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$x^{3} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 x^{2} + \frac{x}{2}$ .

$F (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + C$