Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - x \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - x \cos (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Этап 3.2.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Этап 3.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x + x \sin (x) - \cos (x)$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$