Математический анализ Примеры

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 8

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 8.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Этап 9.2

Объединим $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2}$ и ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Этап 9.3

Перенесем ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Этап 9.4

Перепишем ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 11.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 11.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 11.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Этап 11.2.3

Вынесем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Этап 11.2.4

Перемножим экспоненты в ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Этап 11.2.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Этап 11.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{1}{4} \int ({({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{3} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

Этап 12.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.11

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.12

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.13

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.14

Перенесем круглые скобки.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.18.1

Сократим общий множитель.

Этап 12.18.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.19

Упростим.

$\frac{1}{4} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.20

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

Этап 12.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.22

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.24

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3 - 3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.27

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{0}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.28

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.28.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 (0)}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.28.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.28.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.28.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 12.28.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{0}{1}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.28.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.29

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.30

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.32

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.33

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.34

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.34.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.34.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.35

Упростим.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.36

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.37

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.38

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.39

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.40

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.41

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.42

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.44

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.45

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.46

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.46.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.46.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.46.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.46.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.46.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.46.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.47

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.48

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.49

Изменим порядок $1$ и $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.50

Перенесем $1$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.51

Изменим порядок $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ и $3 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 12.52

Перенесем $1$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Этап 12.53

Перенесем $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 d u_{3}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $- 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ в виде $- {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 d u_{3}$

Этап 13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 1 d u_{3}$

Этап 14

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int 3 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 15

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (3 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 16

Интеграл ${u_{3}}^{- 1}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 17

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 18

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 19

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Этап 20

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int d u_{3})$

Этап 21

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + u_{3} + C)$

Этап 22

Упростим.

$\frac{1}{4} (3 \ln (| u_{3} |) + \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3}) + C$

Этап 23

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {u_{2}}^{2}) + C$

Этап 23.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(u_{1} + 1)}^{2}) + C$

Этап 23.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Объединим противоположные члены в $3 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24.1.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24.1.4

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24.1.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24.1.6

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Этап 24.1.7

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x + 0)}^{2}) + C$

Этап 24.1.8

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Этап 24.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{1}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.2.2

Упростим.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{2 (\frac{1}{2})} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{2 (\frac{1}{2})} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{1} + x^{2}) + C$

Этап 24.2.4

Упростим.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x + x^{2}) + C$

Этап 24.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2})) + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1

Умножим $\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.1.2

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\ln (x^{2})$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (2)} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.6

Объединим $\frac{- 3}{2}$ и $x$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 24.4.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 24.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.5.1

Развернем $\ln (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{3 (2 \ln (x))}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 24.5.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (2 \ln (x))$ .

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 24.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 24.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 24.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (\ln (x))}{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 24.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2 x} - \frac{3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 25

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 26

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$