Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $π$ из-под знака интеграла.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Этап 2

Пусть $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Тогда $d u = - \frac{4}{5} d x$ , следовательно $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $20 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 (5 - x)}{5}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Этап 2.1.4

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Этап 2.1.9.2

Объединим $\frac{4}{5}$ и $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Этап 2.1.9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Этап 2.1.9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $20 - 4 \cdot 0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем $20$ в виде $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Этап 2.3.1.4

Изменим порядок членов.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Этап 2.3.1.5

Вынесем множитель $5$ из $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Этап 2.3.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Этап 2.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Этап 2.3.1.6.4

Разделим $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ на $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Этап 2.3.2

Перепишем $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ в виде $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Этап 2.3.3

Умножим $0$ на $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Этап 2.3.4

Добавим $- 4$ и $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель $20 - 4 \cdot 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем $20$ в виде $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Этап 2.5.1.4

Изменим порядок членов.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем множитель $5$ из $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Этап 2.5.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Этап 2.5.1.6.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.6.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Этап 2.5.1.6.4

Разделим $- 1 (4 - 4)$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Этап 2.5.2

Перепишем $- 1 (4 - 4)$ в виде $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Этап 2.5.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Этап 3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Этап 3.3

Умножим $\frac{5}{4}$ на $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Этап 3.4

Объединим $\frac{5}{4}$ и $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Этап 5

Поскольку $\frac{5}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{5}{4}$ из-под знака интеграла.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $π$ и $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Этап 6.2

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $0$ и в $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Этап 8.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Этап 8.2.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Этап 8.2.4

Умножим $64$ на $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Этап 8.2.5

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Этап 8.2.7

Вычтем $\frac{64}{3}$ из $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Этап 8.2.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Этап 8.2.9

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Этап 8.2.10

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Этап 8.2.11

Умножим $64$ на $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Этап 8.2.12

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Этап 8.2.13

Сократим общий множитель $320$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.13.1

Вынесем множитель $4$ из $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Этап 8.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Этап 8.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Этап 8.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{80 π}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{80 π}{3}$

Десятичная форма:

$83.77580409 \dots$

Этап 10