Математический анализ Примеры

$\int \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

Этап 3

Развернем ${(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Этап 3.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Этап 3.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Этап 3.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Этап 3.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) x^{- 2} d x$

Этап 3.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - - - 1) x^{- 2} d x$

Этап 3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1)) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1) x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{- 2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.11

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.12

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.13

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.14

Перенесем круглые скобки.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.16

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.18

Добавим $4$ и $2$ .

$\int x^{6} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6 - 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.20

Вычтем $2$ из $6$ .

$\int x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.21

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4} - 3 x^{2 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.23

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4} - 3 x^{4 - 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.25

Вычтем $2$ из $4$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.26

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.27

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2 - 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.29

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{0} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.30

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.31

Умножим $3$ на $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.32

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 + 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.33

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.34

Перенесем $3$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

Этап 11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$