Математический анализ Примеры

Вычислить при помощи правила Лопиталя предел (2+2x)/(e^(-2-2x)+x^3), если x стремится к -1
Этап 1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.2.1.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.2.1.3
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.2.3
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.2.3.2
Вычтем из .
Этап 1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.3.2
Внесем предел под знак экспоненты.
Этап 1.3.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.3.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.3.5
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 1.3.6
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 1.3.7
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.7.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.3.7.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.3.8
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.8.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.8.1.1
Умножим на .
Этап 1.3.8.1.2
Добавим и .
Этап 1.3.8.1.3
Любое число в степени равно .
Этап 1.3.8.1.4
Возведем в степень .
Этап 1.3.8.2
Вычтем из .
Этап 1.3.8.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.3.9
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.4.3
Умножим на .
Этап 3.5
Добавим и .
Этап 3.6
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.7
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.7.1.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.7.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.7.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.7.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.7.4
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.7.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.7.6
Умножим на .
Этап 3.7.7
Вычтем из .
Этап 3.7.8
Перенесем влево от .
Этап 3.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.9
Изменим порядок членов.
Этап 4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 5
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 6
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 7
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 9
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 10
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 11
Внесем предел под знак экспоненты.
Этап 12
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 13
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 14
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 15
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 15.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 16
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1.1
Возведем в степень .
Этап 16.1.2
Умножим на .
Этап 16.1.3
Умножим на .
Этап 16.1.4
Добавим и .
Этап 16.1.5
Любое число в степени равно .
Этап 16.1.6
Умножим на .
Этап 16.1.7
Вычтем из .
Этап 16.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 16.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 16.3
Умножим на .