Математический анализ Примеры

$\frac{1}{e^{x} + 1}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{e^{x} + 1}$ в виде ${(e^{x} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} + 1$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 3

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Этап 5.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} e^{x}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}} e^{x}$

Этап 6.2

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$