Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{4 (x + b)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $7$ в выражении ${(x + b)}^{7}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем степень $10$ в выражении ${(x + b)}^{10}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.7

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $- b$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- b$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- b$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Объединим противоположные члены в ${(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1.1

Добавим $- b$ и $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.9.1.2

Добавим $- b$ и $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.9.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.2.9.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- b$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- b + b}$

Этап 2.1.3.3

Добавим $- b$ и $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b} = lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная ${(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $x + b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.2

По правилу суммы производная $x + b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.4

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.4.6

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.5

Вынесем множитель ${(x + b)}^{6}$ из $7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель ${(x + b)}^{6}$ из $7 {(x + b)}^{6}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.5.2

Вынесем множитель ${(x + b)}^{6}$ из $10 {(x + b)}^{9}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} \cdot 10 {(x + b)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.5.3

Вынесем множитель ${(x + b)}^{6}$ из ${(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} (10 {(x + b)}^{3})$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $x + b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + \frac{d}{d x} [b]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + 0}$

Этап 2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1}$

Этап 2.4

Разделим ${(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Этап 3.2

Вынесем степень $6$ в выражении ${(x + b)}^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Этап 3.4

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (lim_{x \to - b} 7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Этап 3.6

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Этап 3.7

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 lim_{x \to - b} {(x + b)}^{3})$

Этап 3.8

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x + b)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Этап 3.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{3})$

Этап 3.10

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $- b$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- b$ для $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- b$ для $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- b$ и $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Этап 5.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Этап 5.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Этап 5.4

Добавим $- b$ и $b$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0^{3})$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0)$

Этап 5.5.2

Умножим $10$ на $0$ .

$0 \cdot (7 + 0)$

Этап 5.6

Добавим $7$ и $0$ .

$0 \cdot 7$

Этап 5.7

Умножим $0$ на $7$ .

$0$