Математический анализ Примеры

$x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y = 7$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y) = \frac{d}{d x} (7)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) - 4 y'$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 y x - 4 y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y'$

Этап 3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $4 x y$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x^{2} y' - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x^{2} y'$ .

$2 y' x^{2} - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y'$ .

$2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2 = - 3 x^{2} - 4 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ на $2 (x^{2} - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ на $2 (x^{2} - 2)$ .

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (x^{2} - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{(x^{2} - 2) \cdot 2}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 2) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - (4 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.4.1

Перепишем $- (3 x + 4 y)$ в виде $- 1 (3 x + 4 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$