Математический анализ Примеры

$\frac{\log_{5} (x)}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3

Производная $\log_{5} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5

Умножим $\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ на $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{\ln (5)}{\ln (5)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{\ln (5) (\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) (2 x))}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x + \ln (5) (- 2 \log_{5} (x) x)}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $- 2 \log_{5} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 9.1.2

Изменим порядок множителей в $x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)$ .

$\frac{x - x \ln (5) \log_{5} (x^{2})}{\ln (5) x^{4}}$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (5)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2})$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (5)}$

Этап 9.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (5)}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (5)}$

Этап 9.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

Этап 9.4

Развернем $\log_{5} (x^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

Этап 9.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Этап 9.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (5) \log_{5} (x) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Этап 9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \ln (5) \log_{5} (x)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Этап 9.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Этап 9.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Этап 9.10

Перепишем $- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ в виде $- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Этап 9.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1}{x^{3} \ln (5)}$