Математический анализ Примеры

$x^{2} - x^{3} = - 2 y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x - (3 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 x - 3 x^{2}$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$- 3 x^{2} + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 4 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 x^{2} + 2 x = - 4 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ .

$- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ на $- 4 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ на $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 (x)}{- 4 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 (x)}{2 (- 2 y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 x}{2 (- 2 y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{x}{- 2 y}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} - \frac{x}{2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{4 y} - \frac{x}{2 y}$