Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ в виде $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ , вынося $\frac{1}{x^{2}}$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Этап 3.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Этап 3.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Этап 3.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

Этап 3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

Этап 3.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

Этап 3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 6.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$