Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.5.1.2

Разделим $A (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.5.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.1.5.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Этап 1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Этап 8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$