Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4

Упростим.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.5.2

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.11.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.12

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.15.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.15.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.15.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.15.4

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.19

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.20

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.21

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.21.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.21.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.21.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.23

Чтобы записать ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.25

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.25.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.25.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.25.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.25.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.26

Упростим ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.27

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.28

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.29

Перепишем $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ в виде произведения.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.30

Умножим $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Этап 1.1.31

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.31.1

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.31.1.1

Возведем $x^{2} + 1$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Этап 1.1.31.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 1.1.31.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.31.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 1.1.31.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены