Математический анализ Примеры

$\int \frac{x - 2}{2 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - 2}{x^{2}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int (x - 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x - 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x - 2) x^{- 2} d x$

Этап 3

Умножим $(x - 2) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int x \cdot x^{- 2} - 2 x^{- 2} d x$

Этап 4

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{1} x^{- 2} - 2 x^{- 2} d x$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int x^{1 - 2} - 2 x^{- 2} d x$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- 1} - 2 x^{- 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x)$

Этап 6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C + \int - 2 x^{- 2} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C - 2 \int x^{- 2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C - 2 (- x^{- 1} + C))$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + \frac{2}{x}) + C$