Математический анализ Примеры

$- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{5} x^{6}$ по $x$ равна $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{- 12}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- \frac{12}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{12 x^{5}}{5}$ по $x$ равна $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.5

Умножим $- 5$ на $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.6

Объединим $\frac{- 60}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.7

Сократим общий множитель $- 60$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.2.7.2.4

Разделим $- 12 x^{4}$ на $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$