Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 1.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Этап 1.5.2

Вычтем $0.5$ из $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Этап 2

Умножим $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Этап 3.2

Умножим $u$ на $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Этап 3.3

Умножим $u$ на $u^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $u$ на $u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Этап 3.5

Перепишем $- 1 u^{3}$ в виде $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{1}{5} u^{5}$ в $0.5$ и в $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{u^{4}}{4}$ в $0.5$ и в $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $0.5$ в степень $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.6

Вычтем $1$ из $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.8

Возведем $0.5$ в степень $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 9.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 9.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Этап 9.3.11

Вычтем $1$ из $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Этап 9.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Этап 9.3.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Этап 9.3.14

Умножим $\frac{0.9375}{4}$ на $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Этап 9.3.15

Чтобы записать $- \frac{0.96875}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Этап 9.3.16

Чтобы записать $\frac{0.9375}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.3.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.1

Умножим $\frac{0.96875}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.3.17.2

Умножим $5$ на $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 9.3.17.3

Умножим $\frac{0.9375}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Этап 9.3.17.4

Умножим $4$ на $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Этап 9.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Этап 9.3.19

Умножим $- 0.96875$ на $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Этап 9.3.20

Умножим $0.9375$ на $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Этап 9.3.21

Добавим $- 3.875$ и $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Этап 10

Разделим $0.8125$ на $20$ .

$0.040625$

Этап 11