Математический анализ Примеры

$\int 3 e^{3 - 7 x} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int e^{3 - 7 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 - 7 x$ . Тогда $d u = - 7 d x$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 - 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$0 - 7$

Этап 2.1.4

Вычтем $7$ из $0$ .

$- 7$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int e^{u} d u$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{7} \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{3}{7} (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

$- \frac{3}{7} e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $3 - 7 x$ .

$- \frac{3}{7} e^{3 - 7 x} + C$