Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}})}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{2}{3}})}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Этап 3.4

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}]$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 5.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Этап 10.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Этап 12

Объединим $x^{- \frac{8}{3}}$ и $\frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Этап 13

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{6}$

Этап 14.2

Перенесем $5$ влево от $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot x^{- \frac{8}{3}}}{6}$

Этап 14.3

Перенесем $x^{- \frac{8}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{6 x^{\frac{8}{3}}}$