Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{3}} + 2$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{3}} + 2$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{3}} + 2$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3}} + 2 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 2 d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 2 d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 2 d x$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 2 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 2 x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 2 x + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + 2 x + C$

Этап 8.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{3}} + 2$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$