Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5 = 3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2} + 8 \sum_{k = 1}^{9} i + \sum_{k = 1}^{9} - 5$

Этап 2

Найдем значение $3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(3) (\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $9$ и $1$ .

$3 \frac{9 \cdot 10 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Этап 2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $9$ на $10$ .

$3 \frac{90 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $9$ .

$3 \frac{90 (18 + 1)}{6}$

Этап 2.3.1.3

Добавим $18$ и $1$ .

$3 \frac{90 \cdot 19}{6}$

Этап 2.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $90$ на $19$ .

$3 (\frac{1710}{6})$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \frac{1710}{3 (2)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1710}{3 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1710}{2}$

Этап 2.3.2.3

Разделим $1710$ на $2$ .

$855$

Этап 3

Найдем значение $8 \sum_{k = 1}^{9} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(8) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $9$ и $1$ .

$8 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $9$ на $10$ .

$8 (\frac{90}{2})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{90}{2}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{90}{2}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 90$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $90$ .

$360$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{9} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(- 5) (9)$

Этап 4.3

Умножим $- 5$ на $9$ .

$- 45$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$855 + 360 - 45$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $855$ и $360$ .

$1215 - 45$

Этап 6.2

Вычтем $45$ из $1215$ .

$1170$