Математический анализ Примеры

$\int (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- x^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - - x^{- 1} + C$

Этап 8.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Этап 8.2.4

Умножим $x^{- 1}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + x^{- 1} + C$