Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} 3 | x^{3} | d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 1}^{1} | x^{3} | d x$

Этап 2

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x^{3}$ принимает положительные и отрицательные значения.

$3 (\int_{- 1}^{0} - x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $0$ и в $- 1$ .

$3 (- ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + \frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$3 (- ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (- (\frac{0}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$3 (- (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$3 (- (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (- (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (- (0 - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$3 (- (0 - \frac{1}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.4

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$3 (- - \frac{1}{4} + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (1 (\frac{1}{4}) + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{4} + (\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0)$

Этап 7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0)$

Этап 7.2.3.11

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1 + 1}{4}$

Этап 7.2.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (\frac{2}{4})$

Этап 7.2.3.14

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 \frac{2 (1)}{4}$

Этап 7.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.3.15

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{2}$

Этап 9