Математический анализ Примеры

$y - 2 y^{2} = - x^{3} - y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y - 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} - y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y - 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y' - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' - 2 (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y' - 4 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 4 y y' + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x^{3} - y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 y y' + y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 y^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y y'$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 4 y + 1 + 3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Изменим порядок членов.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.1.2.2

Запишем $- 4$ как $- 1$ плюс $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ на $(3 y - 1) (y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ на $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$