Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (- x^{- 1} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 9.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 9.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 9.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 11.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- x^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$3 (- \frac{1}{x}) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 11.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 11.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{3}{x} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 11.3.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Этап 11.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{x} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Этап 11.3.6.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} + C$