Математический анализ Примеры

$- y^{3} + 5 - y^{2} + y = 2 x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} + 5 - y^{2} + y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- y^{3} + 5 - y^{2} + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + y'$

Этап 2.6

Добавим $- 3 y^{2} y'$ и $0$ .

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Этап 5.1.3

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Этап 5.1.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 y$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$y' (- 3 y^{2} + (1 - 3) y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (- 3 y^{2} + 1 y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.1.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$y' (- 3 y^{2} + y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y' ((- 3 y^{2} + y) - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y' (y (- 3 y + 1) + 1 (- 3 y + 1)) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 y + 1$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y + 1)) = 6 x^{2}$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ на $(- 3 y + 1) (y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ на $(- 3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (3 y - 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Перепишем $- (3 y - 1)$ в виде $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y + 1)}$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$