Математический анализ Примеры

$- 2 + 4 y^{3} - 4 x^{3} = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- 2 + 4 y^{3} - 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 2 + 4 y^{3} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$0 + 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$0 + 4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$0 + 12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 12 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 12 y^{2} y' - 4 (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$0 + 12 y^{2} y' - 12 x^{2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $0$ и $12 y^{2} y'$ .

$12 y^{2} y' - 12 x^{2}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$- 12 x^{2} + 12 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 12 x^{2} + 12 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $12 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$12 y^{2} y' = 12 x^{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $12 y^{2} y' = 12 x^{2}$ на $12 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $12 y^{2} y' = 12 x^{2}$ на $12 y^{2}$ .

$\frac{12 y^{2} y'}{12 y^{2}} = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 y^{2} y'}{12 y^{2}} = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{12 x^{2}}{12 y^{2}}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$