Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.3

Перепишем $\cos^{6} (t)$ в виде ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 4

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ в $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$