Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Этап 1

Запишем $x^{2} e^{x^{3} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{2} e^{x^{3} + 1} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{3} + 1$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{3} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$