Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 2} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{2}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{x + 6}{x^{2} - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) (x^{2} - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{2}{x - 2}$ на $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{x + 6}{x^{2} - 4}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{(x + 6) (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 4) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{(x + 6) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 (x^{2} - 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - 4 - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{2 (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - lim_{x \to 2} x + 6 \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 6) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.8

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.11

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 (2^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 (2^{2} - 1 \cdot 4) - (2 + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 (2^{2} - 1 \cdot 4) - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 (4 - 1 \cdot 4) - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 (4 - 4) - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 0 - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.4

Добавим $2$ и $6$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 8 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0 - 8 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0 - 8 \cdot (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.1.8

Умножим $- 8$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.2.12.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Этап 2.1.3.8.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Этап 2.1.3.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Этап 2.1.3.8.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Этап 2.1.3.8.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)] + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)] + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (x^{2} - 4)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x + 6) (x - 2)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(x + 6) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - \frac{d}{d x} [(x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 6$ и $g (x) = x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.6

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [6]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) \cdot 1 + (x - 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.10

Умножим $x + 6$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (x + 6 + (x - 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (x + 6 + (x - 2) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.12

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (x + 6 + x - 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.13

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (2 x + 6 - 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.4.14

Вычтем $2$ из $6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (2 x + 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (2 x) - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 2 x - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.5.2.3

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Этап 2.3.6

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.11

Перенесем $2$ влево от $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.12

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Этап 2.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Этап 2.3.14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Этап 2.3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Этап 2.3.16

Умножим $x^{2} - 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.3.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Этап 2.3.17.3.6

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 3.1.3.7.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 3.1.3.7.1.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Этап 3.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Этап 3.1.3.7.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 3.1.3.7.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 4 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 + 0}$

Этап 3.3.10

Добавим $6 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $6 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{6 x - 4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 4}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 2)}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 2)}$

Этап 3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 x - 2}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 4.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 4.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6 - 1 \cdot 2}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{6 - 2}$

Этап 6.3

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$