Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 2 x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(2 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{{(2 \cdot 0)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos^{2} (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.4.9

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Этап 1.3.6

Применим правило умножения к $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [2^{2} x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 (2 x)}$

Этап 1.3.10

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{8 x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{8 x}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{2 x}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7.3

Умножим $\sin (2 \cdot 0)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (2 x)$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.11

Перенесем $2$ влево от $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.12.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.13

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.14

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.17

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.18

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.20

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{1}$

Этап 3.4

Разделим $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Этап 4.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Этап 4.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} (2 {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Этап 4.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (2 x))$

Этап 4.7

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sin (2 x))}^{2})$

Этап 4.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Этап 4.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Этап 6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1^{2} - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Этап 6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Этап 6.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (0))$

Этап 6.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0^{2})$

Этап 6.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0)$

Этап 6.1.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (2 + 0)$

Этап 6.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$1$