Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 4} 4 (x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \tan (π x)$

Этап 1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - 4} (x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \tan (π x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$4 lim_{x \to - 4} x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16 \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$4 (lim_{x \to - 4} x^{3} - lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 7

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 8

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (lim_{x \to - 4} π x)$

Этап 10

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- 4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$4 (- 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$4 (- 64 - 8 \cdot 16 + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.1.3

Умножим $- 8$ на $16$ .

$4 (- 64 - 128 + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.1.4

Умножим $20$ на $- 4$ .

$4 (- 64 - 128 - 80 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.1.5

Умножим $- 1$ на $16$ .

$4 (- 64 - 128 - 80 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.2

Вычтем $128$ из $- 64$ .

$4 (- 192 - 80 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.3

Вычтем $80$ из $- 192$ .

$4 (- 272 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.4

Вычтем $16$ из $- 272$ .

$4 \cdot - 288 \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.5

Умножим $4$ на $- 288$ .

$- 1152 \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Этап 12.6

Перенесем $- 4$ влево от $π$ .

$- 1152 \cdot \tan (- 4 \cdot π)$

Этап 12.7

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 1152 \cdot \tan (0)$

Этап 12.8

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- 1152 \cdot 0$

Этап 12.9

Умножим $- 1152$ на $0$ .

$0$