Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Этап 1.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 4 - 2$

Этап 1.5

Вычтем $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $2$ и в $- 2$ .

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

Этап 4.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.2.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $- \frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2})$

Этап 4.2.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.2.6.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5