Математический анализ Примеры

$\ln (\sqrt{1 + x^{2}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 10

Перенесем ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 12

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 12.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 13

Упростим $2 {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 14

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 16

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (2 x)$

Этап 18

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$ .

$\frac{2}{2 (1 + x^{2})} x$

Этап 18.2

Объединим $\frac{2}{2 (1 + x^{2})}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

Этап 18.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

Этап 18.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1 + x^{2}}$

Этап 18.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x}{x^{2} + 1}$