Математический анализ Примеры

$3 x y + 3 y + 5 = - 3 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 x y + 3 y + 5) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x y + 3 y + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 (x y' + y) + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x y') + 3 y + 3 y' + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3 x y' + 3 y + 3 y'$ и $0$ .

$3 x y' + 3 y + 3 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x y' + 3 y + 3 y' = - 3$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$3 x y' + 3 y' = - 3 - 3 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 x y' + 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y' = - 3 - 3 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y'$ .

$3 y' x + 3 y' \cdot 1 = - 3 - 3 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' x + 3 y' \cdot 1$ .

$3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ на $3 (x + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ на $3 (x + 1)$ .

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 1 - y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - y}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (y)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + y)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 + y}{x + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y}{x + 1}$