Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{3} [2 y - (y^{2} - 3)] d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{3} 2 y - (y^{2} - 3) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{3} 2 y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 1}^{3} y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Этап 6

Умножим $- (y^{2} - 3)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} - - 3 d y$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} + 3 d y$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - \int_{- 1}^{3} y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $3$ и в $- 1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Этап 13.3

Найдем значение $3 y$ в $3$ и в $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{9 - 1}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.4

Вычтем $1$ из $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.5

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{4}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.5.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$2 \cdot 4 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.6

Умножим $2$ на $4$ .

$8 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$8 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$8 - (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$8 - (9 - \frac{- 1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 - (9 - - \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 - (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$8 - (9 + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.13

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.14

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$8 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 - \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.16.1

Умножим $9$ на $3$ .

$8 - \frac{27 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.16.2

Добавим $27$ и $1$ .

$8 - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.17

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.18

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot 3 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.20.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{24 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.20.2

Вычтем $28$ из $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.22

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Этап 13.4.23

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Этап 13.4.24

Добавим $9$ и $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Этап 13.4.25

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 13.4.26

Объединим $12$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Этап 13.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Этап 13.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.28.1

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Этап 13.4.28.2

Добавим $- 4$ и $36$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32}{3}$

Десятичная форма:

$10.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{2}{3}$

Этап 15