Математический анализ Примеры

$lim_{x \to a} {(2 x - 1)}^{5}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем степень $5$ в выражении ${(2 x - 1)}^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to a} 2 x - 1)}^{5}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $a$ .

${(lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

Этап 1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(2 lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $a$ .

${(2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1)}^{5}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $a$ для $x$ .

${(2 a - 1 \cdot 1)}^{5}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(2 a - 1)}^{5}$

Этап 3.2

Воспользуемся бином Ньютона.

${(2 a)}^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило умножения к $2 a$ .

$2^{5} a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.3

Применим правило умножения к $2 a$ .

$32 a^{5} + 5 (2^{4} a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$32 a^{5} + 5 (16 a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.5

Умножим $16$ на $5$ .

$32 a^{5} + 80 a^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.6

Умножим $- 1$ на $80$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.7

Применим правило умножения к $2 a$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (2^{3} a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (8 a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.9

Умножим $8$ на $10$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} \cdot 1 + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.11

Умножим $80$ на $1$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.12

Применим правило умножения к $2 a$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (2^{2} a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (4 a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.14

Умножим $4$ на $10$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} \cdot - 1 + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.16

Умножим $- 1$ на $40$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.17

Умножим $2$ на $5$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.18

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a \cdot 1 + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.19

Умножим $10$ на $1$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a + {(- 1)}^{5}$

Этап 3.3.20

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a - 1$