Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} - 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- lim_{x \to - 3} 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 \ln (- 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.5.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.5.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.2.5.2.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.3.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.3.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.3.1.6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.3.1.7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot - 3 + 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{- 6 + 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.3.1.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.3.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (- 2 - x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = - 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{- 2 - x}$ и $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $- 2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.7

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{4}{- 2 - x}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot - 1}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.12

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{- 4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.14.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - (x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.14.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2 + x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.14.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 3} \frac{- - \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.14.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{1 \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.14.6

Умножим $\frac{4}{2 + x}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Этап 3.15

По правилу суммы производная $3 e^{2 x + 6} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{2 x + 6}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.3

По правилу суммы производная $2 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.6

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.7

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.8

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.9

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x + 6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (2 e^{2 x + 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16.10

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.17

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + 0}$

Этап 3.18

Добавим $6 e^{2 x + 6}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{2 + x} \cdot \frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{4}{2 + x}$ на $\frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 + x) (6 e^{2 x + 6})$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 2}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 + x) (3 e^{2 x + 6})}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} 2 + x \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 3} 2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Этап 11

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Этап 12

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}}$

Этап 13

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Этап 14

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Этап 15

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Этап 16

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Этап 16.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Этап 17

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим.

$\frac{2 \cdot 1}{3 ((2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6})}$

Этап 17.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Этап 17.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) e^{- 6 + 6}}$

Этап 17.3.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot - 1 e^{- 6 + 6}}$

Этап 17.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.3.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{2}{- (3 e^{- 6 + 6})}$

Этап 17.3.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2}{- 3 e^{- 6 + 6}}$

Этап 17.3.4

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{2}{- 3 e^{0}}$

Этап 17.3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 1}$

Этап 17.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{2}{- 3}$

Этап 17.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3}$